Research on frequency stability of magnetic coupling wireless power transfer system
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摘要: 针对磁耦合无线电能传输系统自然振荡频率易受电路参数影响而出现频率分叉现象的问题，利用磁耦合无线电能传输系统等效电路模型，推导出使系统保持频率稳定性的负载电阻及传输距离范围，进一步得出了系统频率稳定性不受传输距离影响的负载电阻范围，在该范围内系统始终保持频率恒定，自然振荡频率不受传输距离影响；通过仿真和实验对理论分析进行了验证。结果表明：负载电阻及传输距离的增大均会在一定程度上降低系统输出功率及传输效率，因此在使系统保持频率稳定性的前提下，应考虑输出功率及传输效率的要求，选择合适的负载电阻和传输距离，防止系统输出功率及传输效率过低。Abstract: The natural oscillation frequency of the magnetic coupling wireless power transfer system is easily affected by circuit parameters and frequency bifurcation phenomenon often occurs. In order to solve the above problems, the equivalent circuit model of magnetic coupling wireless energy transfer system is used to derive the load resistance and transfer distance range that can maintain the frequency stability of the system. Furthermore, the load resistance range under which the system frequency stability is not affected by the transfer distance is obtained. In this range, the system always maintains a constant frequency and the natural oscillation frequency is not affected by the transfer distance. Moreover, the theoretical analysis is verified by simulation and experiment. The results show that the increase of load resistance and transfer distance will reduce the output power and transfer efficiency of the system to a certain extent. Therefore, in the context of maintaining the frequency stability of the system, the output power and transfer efficiency should be considered, and the appropriate load resistance and transfer distance should be selected so as to prevent the output power and transfer efficiency of the system from being too low.
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0. 引言
冲击地压是井下煤岩体积聚的大量弹性变形能突然释放的动力现象，是矿井动力灾害之一[1]。近年来，煤矿冲击地压灾害频发。据统计，全国冲击地压矿井有146个，潜在冲击地压矿井有20个，分布在全国14个省、自治区、直辖市。断裂构造是诱发冲击地压的重要地质因素[2]，从空间关系的角度系统性研究断裂构造对冲击地压的影响，对冲击地压危险性预测及防治具有指导意义。
矿井断裂构造的复杂性和不规则性导致其难以定量分析。分形理论可定量描述分形几何不规则特征[3-6]，近年来被应用于断裂构造的研究。张永强等[7]基于分形理论，在龙滩煤矿地质构造发育特征的基础上，对矿井断裂构造进行定量分析，从而预测了矿井构造煤的分布。张元等[8]利用分形理论对西秦岭夏河−合作地区不同方向断裂构造进行定量分析，用来表征矿床的沉积部位，划分出3个有利成矿区。陈学华等[9]采用多重分形理论，分析了矿区的Ⅴ级断块分形维数与多重分形维数的特征。刘伟等[10]运用分形理论评价了矿井断裂构造的复杂程度，并分析了其与突水灾害的耦合关系。崔中良等[11]利用分形理论中的盒维法对川滇黔断裂构造分形特征进行了研究，探讨了断裂构造分形特征与成矿空间分布的关系。然而对矿井断裂构造分形特征与冲击地压关系研究的文献较少。
笔者基于地质动力区划法[12]，对峻德井田的地形地貌进行探查，确定断裂构造与断块间的相互作用方式，并对断裂构造进行划分[13]。以峻德井田Ⅴ级断块为研究对象，计算Ⅴ级断块构造分形维数，分析断裂构造分形特征，划分17煤层构造应力分区，揭示断裂分形维数与构造应力分布状态、冲击地压之间的耦合关系，以期为冲击地压危险性预测及防治提供地质依据。
1. 矿井概况
峻德井田在2004−2016年共发生26次冲击地压灾害，其中有18次冲击地压发生在17煤层，因此本文以17煤层为研究对象。17煤层属全区可采煤层，煤层厚度为1.99～15.83 m，平均厚度为10.03 m，属特厚煤层；煤层夹矸主要位于煤层的顶部和底部，含多层夹矸，夹矸为凝灰岩、炭页岩及粉砂岩，夹矸厚0.09～1.06 m。煤层倾角为29～34°，煤层走向为185～205°，煤层结构较复杂。煤系地层走向呈北北东向，向东倾斜的单斜构造，倾角为25～35°，平均倾角为30°。断裂构造分为2组：一组走向近南北，倾向西，倾角平缓；另一组走向近东西，倾向北或南，倾角较陡。井田内已编号断层123条，其中落差大于30 m的80条，落差为15～30 m的25条，落差为5～15 m的18条。矿井断层与断裂构造位置关系如图1所示。
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图 1 峻德井田断层与断裂构造位置关系Figure 1. Location relationship between fault and fracture structure in Junde Mine Field2. 矿井断裂构造划分
地质动力区划法是基于地质构造形成原理，通过查明区域地形地貌的形态与特征，进而确定断裂构造及断块间相互作用方式[14]。利用地应力测试、数值仿真模拟、3S技术、无人机测量等手段，并结合影片判读、井上下考查、区域构造活动调查等方法，采用绘图法，对区域断裂构造进行趋势分析，划分出Ⅰ−Ⅴ级断块，见表1[15]。
表 1 断裂构造划分Table 1. Division of fracture structure断块 断块长度/km Ⅰ级断块 ≤1 000 Ⅱ级断块 ≤500 Ⅲ级断块 ≤200 Ⅳ级断块 ≤50 Ⅴ级断块 ≤10 峻德井田Ⅰ级断块如图2所示，可看出峻德井田受控于Ⅰ−1断裂和Ⅰ−2断裂，其中Ⅰ−1断裂与地质界查明的依兰−伊通断裂有直接联系，Ⅰ−2断裂与地质界查明的通河断裂、穆棱河断裂有直接联系。
峻德井田Ⅴ级断块如图3所示，包含15条断裂，其中Ⅲ级断裂1条，Ⅳ级断裂2条，Ⅴ级断裂12条。根据盆地构造断层配套模式[16]，将峻德井田的断裂划分为4组：Ⅳ−15，Ⅳ−19，Ⅴ−4为近南北向断裂；Ⅴ−10，Ⅴ−11，Ⅴ−9为北西西向断裂；Ⅴ−12，Ⅴ−17，Ⅴ−18，Ⅴ−23，Ⅴ−27为北西向断裂；Ⅲ−9，Ⅴ−7，Ⅴ−13，Ⅴ−14为北东向断裂。其中北西向断裂占多数。峻德井田Ⅴ级断块基本特征见表2。
表 2 峻德井田Ⅴ级断块基本特征Table 2. Basic characteristics of grade V fault block in Junde Mine Field断裂 断裂走向/（°） 断裂长度/km 地貌特征 Ⅲ−9 42 135.36 构造阶地 Ⅳ−15 6 14.66 构造阶地 Ⅳ−19 159 11.06 构造阶地 Ⅴ−4 80～90 8.12 构造阶地 Ⅴ−7 121～143 2.29 构造阶地 Ⅴ−9 8～177 3.05 — Ⅴ−10 17 2.39 — Ⅴ−11 0～10 2.70 坡脚 Ⅴ−12 58 6.31 构造阶地 Ⅴ−13 102 1.55 — Ⅴ−14 114～173 1.70 坡脚 Ⅴ−17 54～68 4.30 — Ⅴ−18 40 3.36 构造阶地 Ⅴ−23 58 2.71 构造阶地 Ⅴ−27 18 0.77 坡脚 峻德井田断裂走向如图4所示。Ⅲ级断裂以北东和近南东向为主；Ⅳ级断裂以北东、近南北向为主；Ⅴ级断裂在各个方位都有体现，北东和北北东向相对占优势。整体断裂走向主要为北东向分布。
3. 断裂构造分形特征对冲击地压的影响
3.1 分形维数计算
分形维数是描述断裂构造特征的参数，能定量反映断裂构造的空间分布特征。计算分形维数的方法有盒维法、信息维法和相似维法，其中盒维法具有易操作、便于统计的特征，是断裂构造分形维数计算最常用的方法。
盒维法是以边长为r的正方形网格覆盖研究区，统计覆盖到断裂的网格数N（r）[15]。N（r）与r满足如下经验关系式：
$$ N\left( r \right) = C {r^{{{ - }}D}} $$ (1) 式中C，D为常数。
式（1）两边分别取对数，可得
$$ \ln N\left( r \right) = - D\ln (r/{\mathrm{m}}) + C $$ (2) 由式（2）可知，若ln （r/m）与ln N（r）为拟合线性关系，则斜率的绝对值D即分形维数。
分形维数D和相关系数R2的具体计算步骤：① 整体分形：以Ⅴ级断块图为研究底图，确定分形计算尺寸为8 000 m×5 000 m（实际尺寸），将由边长为r的正方形网格去覆盖底图，基于MapGIS空间分析[16]，分别计算边长r为1 000.000，500.000，250.000，125.000，62.500，31.250，15.625 m时整体断裂、北西向断裂、北东向断裂、南北向断裂和北西西向断裂的N（r）值，并拟合出不同边长的ln （r/m）与ln N（r）之间的线性关系。② 分区分形：将研究底图划分为40个分区单元，每个分区尺寸为1 000 m×1 000 m，分区结果如图5所示。在每个分区中，分别以边长为500，250，125，62.5，31.25，15.625 m的正方形网格去覆盖每个分区，并计算出对应的N（r）值，拟合出ln （r/m）与ln N（r）之间的线性关系，得到每个分区的分形维数和相关系数。
3.2 断裂整体分形特征
峻德井田Ⅴ级断块分形维数计算结果见表3，并根据表3绘制出不同走向断裂线性关系拟合，如图6所示。可看出整体断裂、南北向断裂、北东向断裂、北西向断裂、北西西向断裂5种类别的断裂构造拟合曲线的相关系数分别为0.995 4，0.999 9，0.999 0，0.998 7和0.999 7，表明V级断块与分形维数具有良好的线性关系，峻德井田的Ⅴ级断块具有统计自相似性和空间几何分形特征。整体断裂、南北向断裂、北东向断裂、北西向断裂、北西西向断裂分形维数分别为1.113 0，1.004 8，0.957 4，1.016 2，0.957 0，即整体断裂分形维数＞北西向断裂分形维数＞南北向断裂分形维数＞北东向断裂分形维数＞北西西向断裂分形维数，表明不同走向断裂在空间展布上表现出明显的差异性，反映出不同走向断裂的交织会增加断裂的复杂程度。如果分形维数接近1，说明断裂构造的变形和运动受控于某个断裂[17]。因此，从断裂分形维数角度看，断裂整体分形维数与北西向断裂分形维数有较好的一致性，表明峻德井田Ⅴ级断块受控于北西向断裂。从对冲击地压的影响来看，北西向断裂对峻德井田的冲击地压起控制作用。
表 3 峻德井田Ⅴ级断块分形维数计算结果Table 3. Calculation results of fractal dimension of grade V fault block in Junde Mine Field断裂类型 r/m N（r） ln r ln N（r） D R2 整体断裂 1000.000 37 6.9078 3.7377 1.1130 0.9954 500.000 106 6.2146 4.7791 250.000 247 5.5215 5.5872 125.000 529 4.8283 6.3404 62.500 1160 4.1352 7.0562 31.250 2345 3.4420 7.7600 15.625 4727 2.7489 8.4610 南北向
断裂1000.000 28 6.9078 3.3322 1.0048 0.9999 500.000 58 6.2146 4.0604 250.000 117 5.5215 4.7622 125.000 230 4.8283 5.4381 62.500 464 4.1352 6.1399 31.250 924 3.4420 6.8287 15.625 1859 2.7489 7.5278 北东向
断裂1000.000 14 6.9078 2.6391 0.9574 0.9990 500.000 24 6.2146 3.1781 250.000 47 5.5215 3.8501 125.000 92 4.8283 4.5218 62.500 180 4.1352 5.1930 31.250 361 3.4420 5.8889 15.625 719 2.7489 6.5779 北西向
断裂1000.000 21 6.9078 3.0445 1.0162 0.9987 500.000 51 6.2146 3.9318 250.000 97 5.5215 4.5747 125.000 196 4.8283 5.2781 62.500 388 4.1352 5.9610 31.250 773 3.4420 6.6503 15.625 1547 2.7489 7.3441 北西西向
断裂1000.000 12 6.9078 2.4849 0.9570 0.9997 500.000 22 6.2146 3.0910 250.000 44 5.5215 3.7842 125.000 83 4.8283 4.4188 62.500 162 4.1352 5.0876 31.250 320 3.4420 5.7683 15.625 637 2.7489 6.4568 3.3 断裂分区分形特征
各分区断裂构造分形维数及相关系数见表4，可看出有断裂分布的分区的相关系数均较高，只有12分区的相关系数最小，且8分区、36分区和38分区的相关系数为1，表明各分区的线性拟合程度高，各断裂在各分区中具有空间几何分形特征的一致性和统计自相似性。各分区断裂构造分形维数不同，其中，最小分形维数为0.880 1，最大分形维数为1.530 1，表明断裂构造在不同分区的空间分布具有差异性。
表 4 各分区断裂构造分形维数及相关系数Table 4. Fractal dimension and correlation coefficient of fracture structure in each zone分区号 D R2 分区号 D R2 4 1.4577 0.9916 24 0.9528 0.9455 5 1.3564 0.9993 26 1.4577 0.9916 6 1.0766 0.9544 27 1.3275 0.9892 7 1.2948 0.9995 28 1.1921 0.9996 8 1.0000 1.0000 29 1.1197 0.9978 10 1.0537 0.9971 30 1.1197 0.9978 11 1.5301 0.9986 31 1.1197 0.9978 12 0.9911 0.9320 32 1.1921 0.9996 14 1.1517 0.9811 33 1.1921 0.9996 15 0.9955 0.9455 34 1.2045 0.9998 16 1.4465 0.9999 35 1.2948 0.9995 17 1.2282 0.9936 36 1.0000 1.0000 19 0.9426 0.9959 37 1.1517 0.9811 21 1.2922 0.9968 38 1.0000 1.0000 22 1.1517 0.9811 39 1.1517 0.9811 23 0.8801 0.9715 40 1.4764 0.9940 由图5可知，西南部的1，2，3，4，9，10，12，17，25等分区穿过的断裂数目较少。由前文分析可知，Ⅴ−12，Ⅴ−17，Ⅴ−18和Ⅴ−23断裂穿过的15，21，27，28，29，30，31和38分区的分形维数相近。由前所述，北西向断裂对峻德井田冲击地压的发生起控制作用，而北西向断裂主要为Ⅴ−12，Ⅴ−17，Ⅴ−18，Ⅴ−23，Ⅴ−27，其中，Ⅴ−27断裂位于井田外，对冲击地压发生的影响较小，因此分析得出峻德井田的Ⅴ−12，Ⅴ−17，Ⅴ−18和Ⅴ−23断裂控制着冲击地压的发生。
由图5和表4分析得出，分形维数与断裂构造复杂程度呈正相关。例如12分区与23分区的分形维数分别为0.991 1和0.880 1，小于整体断裂分形维数，且在分区单元内只有1条断裂通过，表明分形维数越小，断裂越稀少；11分区、16分区、26分区与40分区的分形维数分别为1.530 1，1.446 5，1.457 7和1.476 4，大于整体断裂分形维数，且在分区单元内有多条断裂穿过，表明分形维数越大，断裂越密集。为了量化分析断裂构造的复杂程度，将各分区的分形维数赋给相应分区的中点，在Surfer软件上实现样条插值，绘制出断裂分形维数等值线，如图7所示。
根据图7，并基于ArcGIS自然间断分级法，对构造复杂程度进行划分：分形维数小于0.8为简单构造区，分形维数介于0.8～1.1为中等构造区，分形维数大于1.1为复杂构造区。由图7可知，峻德井田构造复杂程度以中等和复杂构造为主：中等构造区主要分布在井田南北两翼，其中有Ⅴ−10，Ⅴ−11，Ⅴ−12，Ⅴ−17，Ⅴ−18和Ⅴ−23断裂穿过；复杂构造区分布在井田中部区域，其中有Ⅴ−9，Ⅴ−13，Ⅴ−17和Ⅴ−23断裂穿过。前文已述，峻德井田的Ⅴ−12，Ⅴ−17，Ⅴ−18和Ⅴ−23断裂控制着冲击地压的发生，因此确定中等构造区是冲击地压发生的潜在区域。
3.4 断裂构造分形特征与冲击地压的关系
断裂构造控制着岩体构造应力分布状态，冲击地压主要发生在构造应力集中程度较高的区域，并且构造应力是引发冲击地压的主导因素[18]。因此，要建立断裂构造分形特征与冲击地压之间的关系，基础在于分析构造应力的分布状态[19]。
峻德井田地应力测量结果：最大主应力为33.42 MPa，方位角为87°；垂直应力为10.81 MPa，方位角为267°；最小主应力为18.73 MPa，方位角为177°。通过确定的地应力参数、岩体变形参数和断裂构造影响范围，利用岩体应力状态分析系统软件[20]，计算得到17煤层的最大主应力，之后在Surfer软件上实现样条插值，绘制17煤层最大主应力等值线，如图8所示。
由于构造复杂程度、断块间的作用及岩体力学性质的多样性，构造应力常表现出区域性特点[21]。将应力集中系数作为划分应力区域的标准：应力集中系数＞1.2的区域为高应力区；应力集中系数＜0.8的区域为低应力区；1≤应力集中系数≤1.2的区域为应力梯度区。17煤层最大主应力区域划分结果如图9所示。
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图 9 17煤层最大主应力区域划分Figure 9. Division of the maximum principal stress area of No.17 coal seam![]()
图 10 Ⅴ级断块构造分区与应力分区叠合Figure 10. Superposition of grade V fault block zone and stress zone从图10可看出，17煤层冲击地压主要发生在高应力区，且处于Ⅴ−18断裂影响范围内；构造复杂程度较高的区域，也是构造应力集中程度较高的区域，构造复杂程度与构造应力集中程度具有很好的一致性。
4. 结论
1） 用分形维数作为量化断裂构造特征的参数，揭示了断裂构造统计自相似性和空间分布特征：峻德井田断裂整体分形维数与北西向断裂分形维数具有良好的一致性，北西向断裂对峻德井田的冲击地压起控制作用；分形维数与断裂构造复杂程度呈正相关，即分形维数越大，断裂构造空间分布特征越复杂，越容易诱发冲击地压。
2） 对V级断块构造分区和应力分区综合研究可知，构造复杂程度越高，构造应力集中程度越高，越容易发生冲击地压。
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