0 引言
钻孔测斜在煤矿井下瓦斯抽采、水害防治及地质勘探等钻孔施工中必不可少。传统的钻孔测斜仪器使用基于地磁场测量的电子罗盘或磁通门作为核心传感器，但易受外界磁干扰且在套管井中无法测量，已不能满足煤矿井下测量的实际需求[1]。近年来，随着微机电系统(Micro-Electro-Mechanical System，MEMS)飞速发展，MEMS陀螺以其特有的成本低、功耗低、体积小、抗振性好及不受外界磁干扰等优点，迅速应用于诸多领域，也成为适用于煤矿井下复杂工况环境的理想传感器，在井下测斜领域具有广阔的发展空间。
影响MEMS陀螺精度的误差有确定性误差和随机误差。确定性误差作为系统误差，可通过标定等环节加以消除[2]，而随机误差没有明显规律，是限制MEMS陀螺精度的主要因素。因此，MEMS陀螺随机误差辨识是提高煤矿井下钻孔测斜精度的必要途径。
目前，随机误差辨识方法主要包括样本均值方差法、功率谱密度法、自相关函数法和Allan方差分析法等[3]。样本均值方差法不能揭示潜在的误差源；功率谱密度法通过对样本的自相关函数估值进行傅里叶变换，得到相应的功率谱密度[4]，但很难分离出具体随机误差；自相关函数法的数据采集时间过长，有时甚至超过仪器寿命[5]；Allan方差分析法可对各种误差源及其对整个噪声统计特性的贡献进行细致的表征和辨识[6-10]，且便于计算，易于分离。本文依据Allan方差分析法原理，以MEMS陀螺实测数据为例，实现MEMS陀螺随机误差辨识，可为改善MEMS陀螺性能提供依据。
1 Allan方差分析法原理
Allan方差分析法是一种从时域上对信号频域稳定性进行分析的通用方法，也就是将随机误差作为时间序列来处理，描述其均方误差的方法[11]。
在进行Allan方差分析时，将MEMS陀螺输出数据等分为若干组，每组的时间长度为相关时间τ。对于不同的相关时间τ，MEMS陀螺输出数据的Allan方差
必然与影响MEMS陀螺性能的固定随机过程的统计性质有关[10]。通过频域推导可得Allan方差与影响MEMS陀螺性能的随机过程Ω(t)的功率谱密度SΩ(f)有着唯一的确定性关系：
(1)
式中f为频率。
由式(1)可知，Allan方差与MEMS陀螺总输出噪声功率呈正比，可根据Allan方差分析结果对MEMS陀螺随机误差进行辨识。
2 MEMS陀螺Allan方差分析
针对煤矿井下高速旋转钻进应用工况，以ADIS16475-3型MEMS传感器为例进行Allan方差分析。ADIS16475-3型MEMS传感器具有三轴MEMS陀螺和三轴MEMS加速度计，将其安装在钻杆中，可实时感应钻杆运动过程中的角加速度和线加速度，从而进行钻孔倾角、方位角和工具面向角的惯性跟踪。
在室温下，将ADIS16475-3型MEMS传感器固定在位置转台上，转台经调平后安装在隔振地基上，分别使MEMS陀螺X轴、Y轴、Z轴指向东向，从而消除地球自转角速度对陀螺输出的影响。MEMS陀螺预热5 min，以100 Hz采样频率采集MEMS陀螺输出原始数据，采样时间为2 h。
根据式(1)计算MEMS陀螺X轴、Y轴、Z轴Allan方差，利用Matlab绘制MEMS陀螺X轴、Y轴、Z轴输出角速率ω及Allan标准差σA(τ)曲线，分别如图1—图3所示。ADIS16475-3型MEMS传感器数据手册中MEMS陀螺Allan标准差曲线如图4所示。
(a)输出原始数据
(b)Allan标准差
图1 MEMS陀螺X轴输出原始数据及Allan标准差曲线
Fig.1 MEMS gyroX-axis output raw data and Allan standard deviation curves
(a)输出原始数据
(b)Allan标准差
图2 MEMS陀螺Y轴输出原始数据及Allan标准差曲线
Fig.2 MEMS gyroY-axis output raw data and Allan standard deviation curves
(a)输出原始数据
(b)Allan标准差
图3 MEMS陀螺Z轴输出原始数据及Allan标准差曲线
Fig.3 MEMS gyroZ-axis output raw data and Allan standard deviation curves
图4 数据手册中MEMS陀螺Allan标准差曲线
Fig.4 Allan standard deviation curve of MEMS gyro in data manual
将图1—图3与图4对比，可看出根据MEMS陀螺X轴、Y轴和Z轴输出原始数据所绘制的Allan标准差曲线与数据手册中MEMS陀螺Allan标准差曲线趋势相近，表明了Allan方差分析法应用的正确性。
3 MEMS陀螺随机误差辨识
MEMS陀螺测试过程中，主要随机误差为量化噪声、角随机游走、零偏不稳定性、速率随机游走和速率斜坡[12-14]，各项随机误差系数分别用Q，N，B，K，R表示。不同随机误差在Allan标准差曲线中表现为不同斜率的直线，如图5所示。
图5 MEMS陀螺随机误差Allan标准差典型分布
Fig.5 Typical Allan standard deviation distribution of MEMS gyro random error
根据图5，分析图1—图3中MEMS陀螺三轴Allan标准差曲线,可看出：① MEMS陀螺X轴Allan标准差曲线中，在τ=0.01～20 s内，曲线斜率近似为-1/2，随机误差主要表现为角随机游走；在τ=20～100 s内，曲线斜率近似为0，随机误差主要表现为零偏不稳定性；在τ=100～1 300 s内，随机误差主要表现为速率随机游走和速率斜坡交替出现。② MEMS陀螺Y轴Allan标准差曲线中，在τ=0.01～20 s内，曲线斜率近似为-1/2，随机误差主要表现为角随机游走；在τ=20～1 300 s内，曲线斜率近似为0，随机误差主要表现为零偏不稳定性。③ MEMS陀螺Z轴Allan标准差曲线中，在τ=0.01～20 s内，曲线斜率近似为-1/2，随机误差主要表现为角随机游走；在τ=20～180 s内，随机误差主要表现为速率随机游走和速率斜坡；在τ=180～1 300 s内，曲线斜率近似为-1/2，随机误差主要表现为角随机游走。
为进一步精确辨识MEMS陀螺随机误差，得到各项随机误差系数，可将各项随机误差表示为正比于相关时间τ的-2～+2次幂的系数表达式[15]：
(2)
式中Am为与各随机误差相关的拟合多项式系数，m=-2，-1，0，1，2分别对应量化噪声、角随机游走、零偏不稳定性、速率随机游走和速率斜坡。
根据式(2)，通过最小二乘拟合，即可获得MEMS陀螺三轴随机误差系数，见表1。
表1 MEMS陀螺三轴随机误差系数
Table 1 MEMS gyro triaxial random error coefficients
从表1可看出：① MEMS陀螺的速率随机游走系数和速率斜坡系数较大，表明速率随机游走和速率斜坡是MEMS陀螺的主要随机误差。② 与ADIS16475-3型MEMS传感器数据手册中的标称值(MEMS陀螺的角随机游走系数为0.3 (°)/h1/2、零偏不稳定性系数为7 (°)/h)相比，通过实测数据解算得到的角随机游走系数和零偏不稳定性系数与标称值相近，说明了Allan方差分析法辨识MEMS陀螺随机误差的有效性和正确性。
4 结语
介绍了Allan方差分析法基本原理，利用Allan方差分析法对MEMS陀螺实测数据进行了处理，给出了Allan标准差曲线，通过最小二乘拟合得到MEMS陀螺的主要随机误差系数，与数据手册中的标称值相近，验证了Allan方差分析法用于MEMS陀螺随机误差辨识的有效性。在进一步研究中，可对Allan方差分析法进行一定的修正，将MEMS陀螺实测数据的分组方式由等分式改为交叠式，以提高MEMS陀螺实测数据的利用效果，达到更高的Allan方差计算精度。
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